Introdução
Neste trabalho vou estudar os sólidos geométricos chamados sólidos platónicos. Vou tentar perceber as características geométricas destes sólidos e compreender porque são apenas cinco e porque foram estudados por Platão que lhes deu o nome de platónicos. Vou tentar saber quem foi esta figura e a sua importância para a matemática e outras ciências.
Fiz uma pesquisa na internet sobre este tema e encontrei muitas curiosidades matemáticas sobre o que Platão descobriu e o que pensava ser o significado dos cinco sólidos platónicos. Outros matemáticos também estudaram estes sólidos. Procurei ainda em alguns livros e tirei imagens para ilustrar o que encontrei.
Quem foi Platão?
Platão foi um filósofo (homem que estuda os problemas da existência humana) e matemático do período clássico da Grécia Antiga (cerca 350 a.C.), fundador da primeira Academia de ensino superior do mundo ocidental. Pensa-se que o seu nome verdadeiro tenha sido Arístocles http://pt.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%A3o - cite_note-alexander.diogenes.laertius.3.5-14. Platão era um nome que, provavelmente, fazia referência às suas características físicas, como o porte atlético ou os ombros largos, ou ainda a sua excelente capacidade intelectual para tratar diferentes temas.
Platão nasceu em Atenas, provavelmente em 427 a.C., e morreu em 347 a.C.. Quando tinha cerca de 20 anos, conheceu o filósofo Sócrates e tornou-se seu aluno até ele morrer. A sua vida foi dedicada a estudar e a pensar questões filosóficas e tornou se também ele um mestre o que o levou a fundar uma Academia em Atenas. Escreveu textos (diálogos) que eram usados como ferramenta de ensino nas mais diversas disciplinas, como a filosofia, a lógica, a retórica (arte de usar a linguagem para comunicar) e a matemática, entre outras. De entre estes textos, destaca-se Timeu, obra escrita por volta do ano de 350 a.C., na qual Platão demonstra a existência dos chamados sólidos platónicos.
Platão
Sólidos Platónicos
Há um número infinito de diferentes tipos de poliedros (sólidos com faces planas), mas existem apenas cinco que são regulares e que são chamados sólidos platónicos. A sua designação foi atribuída por Platão, que os descobriu cerca de 400 a.C.. Os sólidos platónicos são poliedros – sólidos cujas faces têm a forma de polígonos – regulares – todas as faces são polígonos geometricamente iguais (chamam-se congruentes) – e todos os seus ângulos são também congruentes. Assim, um poliedro regular tem todas as suas faces congruentes, todas as suas arestas idênticas e todos os seus ângulos iguais. A existência destes sólidos já era conhecida anteriormente pelos pitagóricos (da escola de Pitágoras de Samos que foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos, entre cerca de 570 a.C. e 571 a.C.) e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitectura e noutros objectos que construíram, mas foi Platão quem observou melhor esta característica. Por isso se chamam platónicos. Platão estudou estes sólidos e demonstrou que eram os únicos sólidos com as faces todas iguais.
Os sólidos platónicos são apenas cinco: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.
Num dos textos incluído no diálogo Timeu, Platão demonstrou que são apenas cinco os sólidos platónicos através da sua construção e utilizando apenas polígonos geometricamente iguais.
Assim, com triângulos equiláteros só se consegue construir o tetraedro, o octaedro e o icosaedro.
Com o quadrado, se tentarmos construir um sólido com as faces geometricamente iguais, apenas conseguimos o cubo. Com pentágonos, apenas conseguimos construir o dodecaedro.
Com hexágonos já não se consegue construir nenhum sólido platónico.
Platão tentou encontrar um significado para esta curiosidade e por isso desenvolveu uma teoria segundo a qual os quatro "elementos" - o fogo, o ar, a água e a terra - eram todos sólidos minúsculos. Platão defendia que, uma vez que o mundo só poderia ter sido feito a partir de corpos perfeitos, estes elementos deveriam ter a forma de sólidos regulares:
o fogo era o mais leve e o mais violento dos elementos, por isso deveria ser um tetraedro;
a terra era o elemento mais estável, deveria ser o cubo;
a água, o elemento mais inconstante e fluído, era um icosaedro, o sólido regular capaz de rolar mais facilmente;
quanto ao ar, Platão observou que "o ar é para a água o que a água é para o ar," e concluiu, de forma um pouco misteriosa, que o ar deve ser um octaedro;
por último e para incluir o quinto sólido regular, atribuiu ao dodecaedro a representação da forma de todo o universo.
Também Johannes Kepler (1571-1630), que foi um astrónomo, matemático e astrólogo alemão e uma importante figura da revolução científica do século XVII, tentou explicar os movimentos planetários a partir dos sólidos platónicos e interpretou, na sua obra Harmonices Mundi, as associações de Platão da seguinte forma:
Outra forma de demonstrar que existem apenas cinco sólidos platónicos é através da fórmula de Euler. Leonhard Paul Euler (1707 -1783) foi um matemático e físico suíço de língua alemã que fez importantes descobertas em várias áreas e também para a matemática moderna. Euler considerou o número de vértices, de arestas e de faces de cada um dos sólidos platónicos e encontrou a seguinte fórmula: V + F - A = 2 (ou V + F = A + 2), onde V, F e A são, respectivamente, o número de vértices, faces e arestas do poliedro. Euler descobriu-a em 1750 e fez muitas verificações da sua ideia, para diversos tipos de sólidos, mas não apresentou nenhuma demonstração, dizendo o seguinte:
"Devo admitir em primeiro lugar que ainda não consegui uma demonstração rigorosa deste teorema... Como, em todo o caso, a sua verdade foi estabelecida em tantos casos, não pode haver dúvidas que é verdadeiro para qualquer sólido. Portanto a proposição parece satisfatoriamente demonstrada".
Mais tarde, Euler acabou por apresentar uma demonstração. Para Euler, o teorema aplicar-se-ia a todos os poliedros. No entanto, vários matemáticos atacaram essa ideia, o que originou uma grande discussão à volta deste teorema, levando a sucessivas demonstrações e a contradizer a sua validade, com base na descoberta de poliedros que não confirmavam a teoria.
Todos os sólidos platónicos satisfazem a relação:
vértices + faces = arestas + 2
como se pode ver na seguinte tabela:
Uma curiosidade é que os sólidos platónicos têm a seguinte coincidência quando os agrupamos: o cubo tem seis faces e oito vértices e o octaedro tem oito faces e seis vértices; o dodecaedro tem doze faces e vinte vértices e o icosaedro tem vinte faces e doze vértices; o tetraedro fica sozinho mas tem o mesmo número de faces e de vértices (quatro).
Conclusão
Neste trabalho estudei os sólidos platónicos e descobri como são geometricamente iguais. Estes sólidos, que são apenas cinco, têm todas as suas faces congruentes, todas as suas arestas idênticas e todos os seus ângulos iguais. Platão, que foi um importante filósofo grego, descobriu estes sólidos e demonstrou que eram apenas cinco os que tinham estas características. Por isso, Platão tentou explicar uma teoria através dos elementos da Natureza. Fiquei também a conhecer outros importantes matemáticos e como estudaram os sólidos platónicos, encontrando regras matemáticas e fórmulas para explicar a sua forma.
Gostei de encontrar a explicação da existência entre a Natureza e estes sólidos e de ficar a saber um pouco da história de Platão, como por exemplo, a Academia que ele fundou e que foi a primeira escola de ensino superior e que tinha escrito na entrada:
“não entre ninguém que não saiba geometria”.
Bibliografia
Dicionário da Língua Portuguesa, 8ª edição, Porto Editora, 1999.
Conceição, Alexandra, Almeida, Matilde, Conceição, Cristina e Costa, Rita, Matemática sob Investigação – 5º ano, parte 1, Areal Editores.
Pappas, Theoni, Fascínios da Matemática, A descoberta da matemática que nos rodeia, Editora Replicação, 1995.
Pereira, Maria Helena da Rocha, Estudos de História da Cultura Clássica, 5ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian, 1980.
Wells, David, Dicionário de Geometria Curiosa, Gradiva, 1991.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pitágoras
http://pt.wikipedia.org/wiki/Platão
http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com/2010/10/solidos-geometricos.html
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/sol_plat.htm
http://www.google.com/search?q=timeu&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:pt-BR:official&client=firefox-a
Imagens
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